裁判をして勝訴したら、相手方にこちらの弁護士費用を請求出来るのでしょうか。

このように、裁判で負けた方の当事者が相手方の弁護士費用まで負担しなければならない制度のことを、「敗訴者負担制度」と言います。

日本では、この敗訴者負担制度は採用されていません。