両親は共に自治医科大学卒で、飛騨市で地域医療に携わる医師。
3人きょうだいの末っ子であり、兄は2018年時点では医学部生、姉は看護師。
根尾本人も成績優秀であり、高校では体育・芸術コースに所属するが、
野球部員ではただ一人成績が最上位のクラスに属するなど、
文武両道ぶりも話題となった。

根尾の中学時代の成績がオール5の成績であった事から、
当時から東京大学野球部のスカウトがマークしており、
大阪桐蔭に進学した際にもスカウトが、
将来は東京大学に進学してもらおうと、
同校野球部監督の西谷浩一に「体育・芸術コースでなく、
進学コースに入れてみてはいかがでしょう」と勧めたことがある。
しかし同校の進学コースのカリキュラムは厳しく、
野球の練習時間が取れなくなる事と、
根尾自身が「野球一本で行きたい」と希望していたため、実現しなかった。
同スカウトによれば「彼が本気で勉強すれば、
おそらく東大に合格していた」との事である。

小学5年生時に全国小学生陸上競技交流大会の男子100m走に出場し5位になっている。

2歳でスキーを始め、中学2年時にはスキー男子回転で全国優勝し、
イタリアで開かれた国際大会にも出場したが、
その年限りで野球に専念することとなった。