面白い未解決の図形問題を淡々と紹介してく

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.4][新芽] · 2024/09/10(火) 17:28:05.84

おまえらに形の最適化問題の面白さを伝える

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.4][新芽] · 2024/09/10(火) 17:28:58.18

まずはMeissner’s conjecture

i.imgur.com/FblKT4y.jpeg
この図のように、二つの板で挟んだときの幅が常に一定の図形を「定幅図形」と言うんだが

幅が1の2次元定幅図形の中で面積が最小のものはルーローの三角形であることがもう既に証明されている

しかし幅が1の3次元定幅図形の中で体積が最小のものは未解決

今のところ以下のMeissnerの四面体と呼ばれる特殊な図形が最小でおそらくこれが最適解なんではないかと予想されている
i.imgur.com/TQ6p3el.jpeg

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.15][苗] · 2024/09/10(火) 17:29:53.89

面白いオマケスレ

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.4][新芽] · 2024/09/10(火) 17:29:56.78

画像見れない奴はURLの頭にhttpsコロンスラッシュ二つ付けてくれ

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.4][新芽] · 2024/09/10(火) 17:30:40.88

次は多面体の等周問題

Nを自然数として与えて、
「表面積1のN面体の中で体積が最大なものはなにか？」
という問題

驚くべきことにこれだけシンプルな問題でもN=8についてですら解決していない

ちなみに正八面体は正解ではなく、より体積が大きい以下の八面体(ゴールドバーグの多面体)が見つかっていて
これが最適解ではないかと予想されている
i.imgur.com/QG0isfq.jpeg

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.4][新芽] · 2024/09/10(火) 17:32:05.84

次はケルヴィン問題

「空間を等しい体積の図形に分割するとき、境界面積を最小にするにはどうすればいいか」
という問題

この問題を提起したケルヴィン卿は、ケルヴィン構造と呼ばれる切頂八面体が答えでないかと予想したが、問題が提起された約100年後にさらに小さい解である以下のウィア＝フェラン構造が見つかる
i.imgur.com/H9IdgRY.png

この図形達は複雑な構造をしていて、辺と面がわずかに曲率を持っている
現在はこれが最適解ではないかと予想されているが未解決

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.8][新芽] · 2024/09/10(火) 17:34:20.43

面白い

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.4][新芽] · 2024/09/10(火) 17:35:00.59

次はコンウェイのソファ問題

この問題はとても有名なので知ってる人も多いのではないだろうか

「L字型の通路を通り抜けることができる、図形の面積の最大値を求めよ」

という問題

1968年にハマーズレーによって以下の長方形と扇形を取り付けた形が提案されたが
i.imgur.com/n9hcrYO.gif

1992年に18の曲線を貼り合わせた、より大きいジャーバー型が発見される
i.imgur.com/QbClIZ0.png

この図形は局所的に最適な構造であるが、真の解であるかは未解決

警備員[Lv.4] · 2024/09/10(火) 17:36:00.66

なんかロータリーエンジンの動きを見てるみたいや

警備員[Lv.7] · 2024/09/10(火) 17:36:47.05

次は松尾昇

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.6][新芽] · 2024/09/10(火) 17:45:22.10

哲学ニュースさんワイは大麻色でお願いします

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.10][新芽] · 2024/09/10(火) 17:52:44.14

よくわからんけどワイらが解いたらええんか？

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 17:54:50.26

>>8
気持ちいいなこれ

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 17:56:07.06

撃たれたわ
あと一問紹介したいけどURLうpできんな

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 17:59:49.16

例えば三角形とかに制限した最適化問題であれば、「三角形の辺の長さ」というパラメータがせいぜい3つある程度なので、3次元空間上の関数の最適化問題と思える

しかしながら、一般の「形」というのは無限にパラメータを持つため、「形」の最適化問題は、ある種の無限次元空間上の関数の最適化問題と思える

興味のある奴は形状最適化だとか変分問題で調べてみてくれ

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 18:04:23.26

そしてこの無限次元空間上の関数(=汎函数)の最適化問題は、解がそもそもあるのかどうかすら難しい問題になり得る

普通の有界領域上の連続関数であれば、最大最小値の原理から最適解は必ず存在するが、

一般に無限次元空間上の有界領域はコンパクトとは限らないため、有限次元と同様に最適解の存在は示せない

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 18:07:05.30

有界領域→有界閉領域の間違いです

解が存在するうんぬんでピンと来ない人もいるだろうけど
次のような例を考えると分かりやすい

例えば(0,1)開区間上の関数f:(0,1)→Rを
f(x)=x
として定める

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.15] · 2024/09/10(火) 18:08:08.59

このスレ転載したら包丁で刺し殺す

**それでも動く名無し** ころころ · 2024/09/10(火) 18:09:54.86

そうすると
xが0に近ければ近いほどf(x)は小さくなるが、定義域は0を含まないため、ちょっきり最小値を取ることは出来ない

したがってこのような関数fは最小値が「存在しない」

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:12:07.97

このように、有限次元の最適化問題ですら最小解の存在は非自明なのに
形の最適化は無限次元の最適化問題

いかに形の最適化が難しくて奥が深い問題なのかが少しは分かってもらえたんじゃないだろうか

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:12:45.85

最後はモーザーのワーム問題を紹介して終わりにする

「回転、平行移動で一致する曲線は同じものとして、長さ1の曲線を全て入れることができる領域の面積の最小値はなにか」
という問題

例えば直径1の円は、長さ1の曲線を全て入れることができる簡単な例である

しかし、回転して一致するものは同じ曲線とみなされるため、以下の扇形と菱形を組み合わせた図形でも条件を満たすことがわかる
i.imgur.com/GOl1KSU.jpeg

この問題はそもそも最小解が存在するのかということですら未解決

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:14:34.59

おわり

他にもこの手の問題は「測地線」とか「極小曲面」とか色々面白い問題がワンサカあるので
興味がある人は>>15で書いたワードで勉強してみてくれ！

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:17:23.83

>>12
ぜひ解いてみてくれ
ここにある問題で一問でも解けたら大ニュースだ