面白い未解決の図形問題を淡々と紹介してく

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.4][新芽] · 2024/09/10(火) 17:28:05.84

おまえらに形の最適化問題の面白さを伝える

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 17:54:50.26

>>8
気持ちいいなこれ

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 17:56:07.06

撃たれたわ
あと一問紹介したいけどURLうpできんな

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 17:59:49.16

例えば三角形とかに制限した最適化問題であれば、「三角形の辺の長さ」というパラメータがせいぜい3つある程度なので、3次元空間上の関数の最適化問題と思える

しかしながら、一般の「形」というのは無限にパラメータを持つため、「形」の最適化問題は、ある種の無限次元空間上の関数の最適化問題と思える

興味のある奴は形状最適化だとか変分問題で調べてみてくれ

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 18:04:23.26

そしてこの無限次元空間上の関数(=汎函数)の最適化問題は、解がそもそもあるのかどうかすら難しい問題になり得る

普通の有界領域上の連続関数であれば、最大最小値の原理から最適解は必ず存在するが、

一般に無限次元空間上の有界領域はコンパクトとは限らないため、有限次元と同様に最適解の存在は示せない

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.1][新芽] · 2024/09/10(火) 18:07:05.30

有界領域→有界閉領域の間違いです

解が存在するうんぬんでピンと来ない人もいるだろうけど
次のような例を考えると分かりやすい

例えば(0,1)開区間上の関数f:(0,1)→Rを
f(x)=x
として定める

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.15] · 2024/09/10(火) 18:08:08.59

このスレ転載したら包丁で刺し殺す

**それでも動く名無し** ころころ · 2024/09/10(火) 18:09:54.86

そうすると
xが0に近ければ近いほどf(x)は小さくなるが、定義域は0を含まないため、ちょっきり最小値を取ることは出来ない

したがってこのような関数fは最小値が「存在しない」

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:12:07.97

このように、有限次元の最適化問題ですら最小解の存在は非自明なのに
形の最適化は無限次元の最適化問題

いかに形の最適化が難しくて奥が深い問題なのかが少しは分かってもらえたんじゃないだろうか

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:12:45.85

最後はモーザーのワーム問題を紹介して終わりにする

「回転、平行移動で一致する曲線は同じものとして、長さ1の曲線を全て入れることができる領域の面積の最小値はなにか」
という問題

例えば直径1の円は、長さ1の曲線を全て入れることができる簡単な例である

しかし、回転して一致するものは同じ曲線とみなされるため、以下の扇形と菱形を組み合わせた図形でも条件を満たすことがわかる
i.imgur.com/GOl1KSU.jpeg

この問題はそもそも最小解が存在するのかということですら未解決

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:14:34.59

おわり

他にもこの手の問題は「測地線」とか「極小曲面」とか色々面白い問題がワンサカあるので
興味がある人は>>15で書いたワードで勉強してみてくれ！

**それでも動く名無し** 警備員[Lv.2][新芽] · 2024/09/10(火) 18:17:23.83

>>12
ぜひ解いてみてくれ
ここにある問題で一問でも解けたら大ニュースだ