「関西」という言葉の方がずっと古く奈良時代には既にその呼び方が定着していたようです。
逢坂の関（滋賀と京都の境）より西側の本州のほぼ全てが関西と呼ばれていました

その後、逢坂の関より東を関東と言うようになったそうで、現在の愛知や静岡も関東のくくりに入っていたのですね。
東海道五十三次が通って箱根の関ができたころに、箱根の関より東という意味の関東という言葉ができたようです